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在求职和面试中，图也是很重要的一个领域。而这里面尤其重要的是深度优先搜索、广度优先搜索、最小生成树、最短路径、拓补排序、有向图的连通性的内容。在这里，我们只抽象地对图及各种算法进行分析，尽量不涉及代码实现。

（参考：《Java数据结构和算法》）

我们首先明确图的定义。在这里，我们讨论的都是连通图，也就是至少有一条路径可以连通所有顶点。有一种情况是有些路径只能有一个方向，称为有向图。有些图边被赋予一个权值，叫带权图。

一、无向图：深度优先搜索、广度优先搜索、最小生成树

DFS和BFS都可以用递归和非递归来实现，但是逻辑都是一样的，而且非递归还更好理解。关键是要理解其决策树以及使用栈和队列的思想，在具体的应用场景中再用代码实现。

1、深度优先搜索（DFS）

（1）算法步骤

图的顶点要设置一个标志位，来表示是否已经被访问过。如果访问过的顶点，该顶点会被置位标志位。DFS通过栈来实现。它的算法步骤如下：

把图中某个顶点作为起点。先访问该顶点，标记他，然后把该顶点放入栈中；

while(栈不为空){

    if(栈顶的顶点还有没访问过的邻接顶点){

        访问栈顶的顶点的某个邻接的顶点，标记他，然后把该顶点放入栈中;

    }

    else{

        把栈顶的顶点出栈;

    }

}

可以看出，要自己定一个有规律的，访问某顶点的邻接顶点的顺序。深度优先搜索要得到距离起始点最远的顶点，然后在不能继续前进的时候返回。

（2）应用

深度优先搜索经常被用于游戏仿真中（或者现实世界中与游戏相似的情况）。在一般游戏中，可以在几个可能的动作中选择一个，每个选择导致更进一步的选择，这些选择又产生了更多的选择，这样就形成了一个代表可能性不断延伸的树形图。这就是决策树。

2、广度优先搜索，也叫宽度优先搜索（BFS）

BFS要使用队列，而不是栈。它跟DFS不同，它首先访问起始顶点的所有邻接顶点，然后再访问较远的区域。

（1）算法步骤

把图中某个顶点作为起点。先访问该顶点，标记他，然后把该顶点放入队列中；

while(队列不为空){

    if(队列头顶点还有没访问过的邻接顶点){

        访问队列头顶点的某个邻接的顶点，标记他，然后把该顶点放入队列中;

    }

    else{

        把队列头的顶点出队列;

    }

}

（2）应用

BFS首先找到与起始点相距一条边的所有顶点，然后是相距两条边的顶点，以此类推。如果要寻找起始顶点与指定顶点的最短距离，那这个属性非常有用。首先执行BFS，当找到指定顶点时，就可以说这条路径是到这个顶点的最短路径。

3、最小生成树（MST）

最小生成树，也就是把一个图多余的边去掉，生成一种图，他用最少的边连接了所有的顶点。对于某一个图来说，最小生成树并不是唯一的。此时他的边的数量一定是他的顶点的数量减一。此时，我们还不需要考虑边的权值以及方向。创建最小生成树的算法和DFS，BFS几乎是一样的，所不同的是每次读取顶点同时，要记住已经走过的边。其实用DFS生成的天然就是一个最小生成树。用DFS生成最小生成树比BFS简单多了。用DFS访问定点，它返回的定点的顺序就是一个最小生成树。只需要一个个返回顶点，然后把路径记录下来即可。

二、有向图：拓补排序、有向图的连通性

若图有方向的情况下，称为有向图。有向图在实际中有很重要的应用，例如在大学的课程选修中，经常听到上某门课的前提是修了另一门课的学分。为了拿到学位，要上高级研讨会，而只有先后上了代数和高等数学，才能上高级研讨会。

假设存在一个列表，包含了要得到学位所必修的全部课程，我们按课程的先后顺序排列它，可以得到以下这个序列：

BAEDGCFH

这种方法的排列，称为图的拓补排序。造出拓扑序列的实际意义是：如果按照拓扑序列中的顶点次序，在开始每一项活动时，能够保证它的所有前驱活动都已完成，从而使整个工程顺序进行，不会出现冲突的情况。但是注意：

（1）拓补排序不是唯一的；（2）他可以用于连通图，也可以用于非连通图；（3）有环图拓补排序是无法处理的。事实上，不包含环的图就是树。拓补排序必须在无环的有向图中处理。

1、拓补排序的算法如下：

（1）找到一个没有后继的顶点；

（2）把它放入数组中，并且从图中删除顶点以及连接到它的边；

（3）不断进行（1）和（2），如果找不到没有后继的顶点了，但是数组中的顶点数量还没达到图的顶点数量，说明图中必然存在环。

2、有向图的连通性

从前面得知，在无向图中，利用深度优先和广度优先搜索可以找到所有相互连通的点。而对有向图来说，就有点麻烦了。因为不能从任意一个顶点开始，期望找到所有其他连通的顶点，因为图是有方向的。关于有向图连通性的问题主要是，如果从一个指定顶点出发，能够到达哪些顶点？

（1）连通性表

连通性表，其实就是一张表，对于这个表上的所有顶点，从这个顶点能到达图中哪个顶点。

例如，对于这个有向图，AC, BACE, C, DEC, EC就是他的连通性表。第一个字母是起始点，接下来的字母是能够到达的顶点（直接或间接）。得到这个连通性表的方法很简单，就是对每一个顶点使用DFS即可。

（2）

对于有向图的连通性，还有一个问题：一个顶点，是否可以从另外一个顶点可以到达？对于这个问题，可以查看连通性表，但是这需要查看连通性表的某行所有表项，需要O(N)的时间复杂度。能否有一个更好的算法，可以在O(1)时间复杂度里，告知一个顶点对另一个顶点是否可以到达？这就需要使用Warshall算法。事实上，它的本质就是动态规划。

三、带权图：带权图的最小生成树、最短路径问题

1、带权图的最小生成树

其实就是找到一棵最小生成树，连接所有顶点，权值最小。要注意，最小生成树也不一定是唯一的。这在现实生活中有很大的意义，例如光纤布线等。要实现这个算法需要使用优先级队列。这里要注意两个问题：

（1）连通n个顶点，需要n-1条边；（2）尽可能选取权值小的边，不能构成回路。

有以下两个算法（https://blog.csdn.net/luoshixian099/article/details/51908175）：

（1）Prim算法

此算法可以称为“加点法”，每次迭代选择代价最小的边对应的点，加入到最小生成树中。算法从某一个顶点s开始，逐渐长大覆盖整个连通网的所有顶点。

1. 图的所有顶点集合为VV；初始令集合u={
   s},v=V−uu={s},v=V−u;
2. 在两个集合u,vu,v能够组成的边中，选择一条代价最小的边(u0,v0)(u0,v0)，加入到最小生成树中，并把v0v0并入到集合u中。
3. 重复上述步骤，直到最小生成树有n-1条边或者n个顶点为止。

由于不断向集合u中加点，所以最小代价边必须同步更新；需要建立一个辅助数组closedge,用来维护集合v中每个顶点与集合u中最小代价边信息：

（2）Kruskal算法

此算法可以称为“加边法”，初始最小生成树边数为0，每迭代一次就选择一条满足条件的最小代价边，加入到最小生成树的边集合里。 
1. 把图中的所有边按代价从小到大排序； 
2. 把图中的n个顶点看成独立的n棵树组成的森林； 
3. 按权值从小到大选择边，所选的边连接的两个顶点ui,viui,vi,应属于两颗不同的树（为什么要有这个规定，是因为如果两个顶点属于不同的树，就不会形成环了），则成为最小生成树的一条边，并将这两颗树合并作为一颗树。 

4. 重复(3),直到所有顶点都在一颗树内或者有n-1条边为止。

在这里，边要先放入一个优先级队列里面，这样就可以拿到最小代价边。

2、最短路径问题

对于带权无向图来说，还有一个很重要的问题：给定两个顶点，如何找到一条路径，令两个顶点之间连通，而且权值最小呢？这里要用到Floyd算法。而如果是带权的有向图，要使用Dijkstra算法。